소개: 아래는 [Science/사이언스] 지에 실린 최신 음악학 논문을 root2a님께서 번역한 것입니다. ㅡ kguitar



* 화음의 기하학  
Dmitri Tymoczko

Science  VOL 313 7 July 2006


화음은 orbifold라고 부르는 기하공간에 놓인 한 점으로 나타낼 수 있다. 선분들(line segments)은 한 화음에 속한 음들과 다른 화음에 속한 음들 사이의 대응을 나타낸다. 광범위한 스타일의 작곡가들은 대개 구조적으로 유사한 화음들 사이의 짧은 선분들을 이용해 이런 비유클리드 공간을 사용해 왔다. 이런 선분들은 화음들이 평행 이동, 반사, 혹은 치환에 대해 거의 대칭적(nealy symmetrical)일 때만 존재한다. 전형적으로 협화화음과 불협화화음은 다른 근(近)대칭성(near-symmetries)을 갖고 다른 음악적 용도를 갖는다.


그림-1.



서양음악은 서로 독립적인 두 가지 법칙이 만나는 곳에 놓여있는 것처럼 보인다: 화성법과 대위법. 화성법은 허용가능한 화음들(동시에 발성되는 음들)과 화음진행을 제한한다. 대위법(또는 성부진행;voice leading)은 동시에 발성되는 선율을 형성하기 위한 화음열에서 각각의 음들을 연결하는 기술이다. 화음은 보통 이런 선들(또는 성부들)이 독립적으로(모두 같은 정도, 같은 방향은 아닌), 효과적으로(짧은 거리만큼) 그리고 성부교차 없이(서로 교차하지 않는 선들을 따라) 움직이도록 연결된다. (그림 1, A에서 C까지) 이런 특징은 연주를 용이하게 하고, 외재적인 미학적 형태와 관련되며 (1,2), 청중으로 하여금 동시에 발성되는 여러 선율을 식별하게 한다 (3).

어떻게 서양음악은 화성적이면서도 대위법적이어야 하는 제약들을 동시에 만족할 수 있을까? 화음 두 개가 효과적인 성부진행으로 연결될 수 있는지는 무엇으로 결정할까? 음악가들은 거의 3세기에 걸쳐 이런 의문들을 연구해 왔다. 1728년에 처음 발표된 (4) 5도권 (그림 S1)은 12개의 주요 음계중 효과적인 성부진행을 나타내고 있다. 1739년 오일러가 처음 고안한 톤네츠(Tonnets) (그림 S2)는 24개의 주요 장/단3화음중 효과적인 성부진행을 나타내고 있다 (2, 5). 최근 논문들 (5-13)은 특별한 다양한 경우들에서 효과적인 성부진행을 연구하고 있다. 하지만, 감질나게 하는 힌트들에도 불구하고 (6-10) 어떤 이론도 언제 그리고 왜 이런 효과적 성부진행이 가능한가를 설명하는 보편법칙을 명확히 하지 못하고 있다. 이 글에서 그런 이론을 제시할 것이다. 이 이론에서 점들은 화음들을 나타내고, 선분들은 그 끝점들 사이의 성부진행을 나타내는 기하공간을 도입할 것이다. 그리고 이 공간에서 화성법과 대위법이 어떻게 관련 되는지 명확히 보게 될 것이다.

인간의 음고인식은 로그적이기도 하고 주기적이다: 주파수 f와 2f는 단위거리(옥타브)로 구별되어 들리고 같은 속성과 음색을 가지고 있다. 음고 인식의 로르적인 면을 보여주기 위해, 한 음고의 기본주파수 f를 다음과 같은 관계식에 따라 실수 p와 연결 하였다.
p=69+12 log2(f/440) (1)
그 결과는 선형공간(음고공간)인데, 여기에서 옥타브들은 12의 크기를, 반음정들(피아노에서 인접음 사이의 거리)은 1의 크기를 갖고 가온 다(middle C)에는 숫자 60이 대응된다. 이 공간에서 거리는 피아노 건반에서 물리적 거리를, 서양음악 기보법에서 수직거리를, 그리고 심리학적인 실험에서 측정된 것과 같은 음악적 거리를 나타낸다 (14, 15).

음악적으로 한 음의 음색은 종종 그 음의 옥타브보다 중요하다. 그러므로 모든 음고들 p와 p+12를 동일시 하는것이 유용할 것이다. 결과는 수학자들이 R/12Z라고 부르는 순환 몫공간이 된다. (그림 S3). (용어와 기호 사전은 표 S1을 보시오.) 이 공간의 점들은(음고류들) 서양음악이론에서 익숙한 영문이름 대신 숫자로 표시된다 : C=0, C#/Db=1, D=2, D 4분음#(D quarter-tone sharp)= 2.5 등. 서양음악에서는 주로 이 공간 안에 있는 이산적인(discrete) 격자점만 사용한다. 여기서는 더 일반적인 경우인 연속적인 공간을 고려하겠다. 이는 성부진행 행태에 영향을 주는 대칭적 화음들이 반드시 이산적 격자에 있을 필요는 없기 때문이다. 음집합의 내용은 종종 그 순서보다 중요하다. 화음들은 그래서 음고들이나 음고류들의 다중집합들(multisets)로 만들 수 있다. (“화음”은 그래서 따로 언급되지 않으면 음고류의 다중집합을 의미할 것이다.) 음악적 용어인 “transposition(이도;移度)”는 수학적 용어인 ”translation(평행이동)"과 동의어이고, 음고나 음고류 공간에서 덧셈으로 나타난다. 이도(移度;transposition)로 얻은 화음들은 평행이동을 해도 모두 같다; 그러므로, C 장화음, {C, E, G} 혹은 {0, 4, 7}에서 F 장화음인 {F,A,C} 혹은 {5, 9, 0}을 이도(移度)로 얻을 수 있다. 왜냐하면 {5, 9, 0}≡{0+5, 4+5, 7+5} (Modulo 12Z) 이기 때문이다. 음악적 용어 “inversion(전위)"는 수학적 용어 ”reflection(반사)“와 동의어이고, 상수에서 수를 빼는 것에 해당한다. 전위(inversion)로 얻은 화음 들은 반사에 대해 같다; 그러므로 C 장화음에서 C 단화음 {C, Eb, G} 혹은 {0, 3, 7}을 반사로 얻을 수 있다. 왜냐햐면 {0, 3, 7}≡{7-7, 7-4, 7-0} (Modulo 12Z) 이기 때문이다. 음악적으로 이도와 전위는 화음의 특징을 그대로 유지시키기 때문에 중요하다: 이도(移度)로 관련된 화음들은 지극히 비슷하게 들리고, 반전으로 관련된 화음들도 상당히 그렇다.

두 개의 다중집합 {x1,x2,...,xm}과 {y1,y2,...,yn}사이의 성부 진행은 순서쌍 (xi,yj)의 다중집합이고, 두 집합의 모든 원소는 적어도 한 순서쌍에서 사용되어야 한다. 자명한 성부진행에는 (x,x)형태의 순서쌍만 포함된다. (x1,x2,...,xm) --> (y1,y2,...,yn)과 같은 표시는 그런 성부진행을 나타낸다. 각 리스트에 대응되는 항목끼리 연결하는 성부진행을 나타낸다. 그러므로, 성부진행 (C,C,E,G)-->(B,D,F,G)는 C와 B를, C와 D를, E와 F를, 그리고 G와 G를 연결한다. 음악학자들은 성부진행의 크기를 잴 수 있는 많은 방법들을 제안해 왔다. 그 중 하나를 채택하기보다는 어떤 척도든 서양음악의 널리 인정된 양상을 반영하는 몇가지 제한조건을 만족하기만 하면 된다고 생각한다(16). 이런 제한조건은 다항식시간(polynomial time)동안 임의의 화음들 사이의 최소 성부진행(반드시 전단사일 필요는 없는)을 결정하는 것이 가능하도록 해 준다.

지금부터 화음의 기하에 대해 알아보자. n개의 음고들의 순서열은 Rn에서 한점으로 나타난다 (그림 S4). 이 공간에서 방향이 있는 선분들은 성부 진행을 나타낸다. 측정된 성부진행의 크기는 이런 선분들에 길이를 준다. 청중이 옥타브와 순서정보를 추출해내는 방법을 구체화시키기 위해 몫공간을 사용하겠다. n개의 음고류들의 순서열을 모델화 하기 위해 n-토러스 Tn이라고 불리는 몫공간 (R/12Z)n을 만들자. 순서가 없는 음고류들의 n-음 화음을 모델화하기 위해 모든 점들 (x1,...,xn)과 (xs(1),...,xs(n))을 같다고 하자. 여기서 s는 임의의 permutation 함수이다. 그 결과는 global quotient orbifold Tn/Sn 이고 (17, 18), n차 토러스 Tn modulo the symmetric group Sn 이다. 국소 토폴로지가 Rn과 같지 않은 곳에서 singularity가 존재한다.

그림-2.



그림2는 orbifold T2/S2, 즉 음고류의 순서없는 쌍들의 공간이다. 사각형의 왼쪽가장자리를 반 비틀어 오른쪽 가장자리와 붙인 뫼비우스의 띠가 된다. 이 orbifold는 거울과 같이 행동하는 위, 아래 가장자리에서 singularity를 갖는다(18). 임의의 음고류쌍들이나 음고쌍들 사이의 전단사 성부진행은 그림2에 경로로 나타난다 (movie S2). 성부진행 크기 측정은 그 경로의 길이로 나타난다. 그 경로들은 모공간 Tn 과 Rn에 있는 선분들의 이미지들이고, orbifold에 있는 선분들이거나 singular 가장자리들에서부터 반사되어 떨어진 선분들이다. 예를 들어 성부진행 (C,Db)->(Db,C)은 orbifold의 위쪽 거울경계선에서 반사되어 떨어진다.

고차원으로 일반화 시키는 것은 쉽다. orbifold Tn/Sn을 만들기 위해, 밑면이 n-1차 단체(simplex)인 n차 프리즘을 생각해 보고, 그 밑면을 꼭지점들이 순환적으로 치환 되도록 한 다음, 반대 면과 일치시키자 (그림 S5, 그리고 S6) (16). 그 orbifold의 경계선은 거울처럼 행동하는 특이경계선(singular boundaries)이고, 중복된(duplicate) 음고류를 갖는 화음들을 포함하고 있다. 옥타브를 균일하게 나누는 화음들은 orbifold 중심에 있고, 서양조성성과 익숙한 sonorities에 의해 둘러싸여 있다. 그 프리즘의 높이 축과 평행한 성부진행은 transposition 역할을 한다. 독자들은 필자가 쓴 컴퓨터 프로그램으로 이 공간을 살펴볼 수 있을 것이다(19).

많은 서양스타일들에서는 transpositionally 혹은 inversionally 관련된 화음들 사이에 효율적이고, 독립적인 성부진행을 찾는 것이 바람직하다. 그림1에 있는 그림들은 모두 이 스타일들이다 (movie S3). 어떤 화음도 transposition, permutation, inversion에 대해 근(近)대칭성을 가지기만 하면 그런 진행이 될 수 있다 (16). 이러한 대칭성을 묘사하고, 어떻게 이런 성질들이 orbifold 기하 속에 내재되어 있는지 설명하고, 서양 작곡가들에 의해 어떻게 이용되어 왔는지 보임으로 이 글을 마무리 하겠다.

만약 어떤 화음성음들이 옥타브를 균일하게 나누거나, 그렇게 균일하게 나누는 크기가 같은 부분집합들의 합집합이면 그 화음은 transpositionally symmetrical (T-symmetrical)하다고 한다. Nearly T-symmetrical 화음은 이런 T-symmetrical 화음과 가까운 화음들이다. 두 종류의 화음 다 효율적인 전단사 성부진행에 의해 적어도 몇 개의 transposition화음들과 연결 될 수 있다. 하나가 orbifold의 중심으로 다가가면, 화음들은 점점 T-symmetrical이 되고, 효율이 증가하는 전단사 성부진행으로 그들의 transposition과 연결이 될 수 있다. orbifold 중앙에 있는 완전히 짝수인 화음은 가장 작은 가능한 전단사 성부진행에 의해 그것의 transposition의 전부와 연결될 수 있다; 관련된 결과는 이산적 음고 공간에도 적용된다. 완벽히 T-symmetrical 화음들 사이의 효율적 성부진행은 일반적으로 독립적이지 않다. 그러므로 작곡가들은 완전히 T-대칭성을 갖는 화음보다 near T-symmetry를 더 선호한다.


표-1.



그러므로 전통적 서양음악의 음향학적 협화 화음들은 효율적 성부진행으로 연결될 수 있다. 음향학적 협화는 불완전하게 이해되고 있다. 그러나 이론가들은 오랫동안 배음렬(harmonic series)에서 대략 첫 몇 개의 음들이 적어도 화음음(harnomic tones)들로 연주될 때 특별히 협화라는 것에 동의해 왔다. 배음렬에서 n에서 2n까지의 음들은 주파수공간에서 옥타브를 균일하게 나누고 있기 때문에, 로그-주파수 공간에서도 그 옥타브를 거의 균일하게 나누고 있다. 그러므로 이런 화음들은 orbifolds의 중앙부분에 모이게 되고 (Table 1), 일반적으로 효율적이고 독립적인 성부진행으로 연결 될 수 있게 된다. 전통 조성음악은 이런 가능성들을 이용해 왔다 (그림 1, A에서 C, 그리고 movie S4). 이런 서양 대위법에 있어서의 주요한 특징은 작곡가들의 음향적 협화의 화성적 성질에 대한 관심으로 가능하게 되었다.

자명한(trivial) 성부진행인 화음성음들의 자명하지 않은 permutation이 존재하기 때문에 같은 음고류들을 갖고 있는 화음을 permutationally symmetrical이라고 한다 (P-symmetrical). 이런 코드들은 orbifolds에서 특이경계선(singular boundaries)에 위치한다. {E, F, Gb}과 같은 Nearly P-permutation 화음들은 이런 코드와 가까운 코드들이고, 가까이에 함께 모여있는 몇 개의 음들을 포함한다. 모여 있는 음들을 치환하는 (permuting) 효율적인 성부진행들은 근처 경계선으로부터 떨어져 있다 (그림 2, movie S2 그리고 S4). 그런 성부진행은 독립적이고 자명하지 않게 될 수 있다. 자명한 성부진행은 음악적으로 불활성적(inert) 성질이 있다. 그러므로 T-symmetry와 마찬지로 작곡가들은 완벽한 P-symmetry보다 near P-symmetry를 선호하는 이유가 있다. {B,C,Db}와 같은 nearly P-symmetrical chords들은 극도로 불협화음으로 여겨진다. 이 화음들은 성부들이 화성을 바꾸지 않는 짧은 거리를 움직이는 정적인 음악에 잘 어울린다 (그림 1D). 그런 사용은 최근의 무조성적 작곡, 특히 Ligeti와 Lutoslawski의 음악의 특징이다. 현재의 관점에서 보면 이런 전위적 기교들은 전통적 조성의 기교와 밀접하게 관련되어 있다: 그들은 transpositionlly 혹은 inversionally 관련된 코드들 사이의 효율적이고 독립적인 성부진행을 허락하는 세 개의 기본적 대칭성중에 하나를 이용한다.

음고류 공간에서 거울대칭변환 아래에서 불변이라면 inversionally symmetrical (I-symmetrical)이라고 한다. nearly I-symmetrical 화음들은 이런 화음들과 가깝고, orbifold에 걸쳐 찾을 수 있다 (16). 예를들면, F# half-diminished seventh chord인 {6,9,0,4}와 F dominant seventh chord 인 {5,9,0,3}은 inversion으로 관련되어 있고, I-symmetrical 화음인 {5.5, 9, 0, 3.5}와 매우 가까이 연결 되어 있다. 결과적으로 그 둘 사이의 (6, 9, 0, 4)->(5, 9, 0, 3) 효율적 성부진행을 찾을 수 있다 (16). C 장3화음과 같은 Nearly T-symmetrical chords과 {C, Db, Eb}와 같은 P-symmetrical 화음들은 nearly I-symmetrical 이 될 수 있다. 결과적으로 I-symmetry는 조성음악과 비조성음악에 모두 사용될 수 있다. 이것은 19세기 음악 특히 슈베르트(22), 바그너(23), 그리고 드뷔시의 음악에서 두드러지는 역할을 했다 (그림 1C).

전술한 개념들은 여러 갈래로 확장될 수 있다. 우선, 작곡가들이 어떻게 음악적 화음의 기하를 사용했는지 세부적으로 연구할 수 있다. 두 번째로, transpositionally 그리고 inversionally 관련된 화음들을 동일시 하는 몫공간을 생각함으로 해서 기하적 접근을 일반화 시킬 수 있다 (24). 세 번째로, 순환적 리듬패턴들도 또한 Tn/Sn에 있는 점들로 모델화 할 수 있기 때문에, 아프리카 음악이나 다른 비서양 리듬을 연구하는데 이들 공간을 사용할 수도 있다. 네 번째로, 어떻게 orbifolds에서의 거리들이 화음유사성에 대한 인식론적 판단과 관련이 있는지 연구 해 볼 수도 있다. 마지막으로, 화성과 대위법 사이의 관계에 대한 이해는 현대 작곡가들에게 새로운 기술을 제공할 수도 있을 것이다.